1. Euclide di Alessandria.
Della vita di Euclide di Alessandria (III secolo a.C.) si sa pochissimo, non si sa nemmeno dove nacque: venne spesso confuso con l’omonimo filosofo Euclide di Megara, ma quest’ultimo, pur mostrando qualche interesse per la logica, non era particolarmente attirato dalla matematica. Il nostro fu chiamato ad Alessandria da Tolomeo I Filadelfo (che regnò in Egitto dal 306 al 283 a.C., dopo la morte di Alessandro Magno), per insegnare all’accademia, nota come Museo, che tale monarca aveva ivi istituito. Taluni aneddoti descrivono Euclide come un vecchio di carattere gentile ma risoluto che, alla richiesta dello stesso Tolomeo di una facile introduzione alla geometria, avrebbe fermamente replicato al re che “in geometria non esistono vie regali”; così, ad un allievo che gli avrebbe chiesto quale utilità potesse avere lo studio della geometria, Euclide avrebbe fatto dare una moneta da uno schiavo, poiché “quell’allievo aveva bisogno di trarre guadagno da ciò che imparava”. Ad Euclide sono però universalmente associati gli Elementi, cioè il più fortunato trattato di matematica che sia mai stato scritto. Invero Euclide fu autore di diverse altre opere che spaziavano dall’ottica all’astronomia, dalla musica alla meccanica. Più della metà di ciò che Euclide scrisse è andato perduto: a noi sono giunti, oltre agli Elementi, i Dati (un’opera di sussidio ai primi sei libri degli Elementi), la Divisione delle figure (che comprende una raccolta di trentasei proposizioni riguardanti la ripartizione di figure piane), i Fenomeni (opera di geometria sferica ad uso degli astronomi) e l’Ottica (uno dei primi trattati sulla prospettiva ovvero la geometria della visione). Tuttavia la diffusione che gli Elementi hanno avuto nei secoli hanno fatto sì che Euclide e gli Elementi siano ancor oggi generalmente intesi come sinonimi.

2. Gli Elementi.
Il Museo di Alessandria era un istituto di insegnamento superiore, nel quale i docenti molto probabilmente, come nelle università odierne, erano impegnati in attività di ricerca oltre che di insegnamento. Euclide doveva segnalarsi per la sua abilità didattica: a lui non è attribuita nessuna nuova scoperta e la sua fama, dovuta alle sue doti espositive, rese famosi i suoi Elementi, cioè un manuale di matematica che riuscì a superare tutti gli altri in modo tale da rimanere utilizzato per lunghissimo tempo. Anche se taluni hanno ritenuto che fossero un compendio di tutte le conoscenze geometriche del tempo, gli Elementi costituivano un manuale introduttivo a quella che oggi chiameremmo matematica elementare da un punto di vista superiore, nel senso di teoria dei numeri, geometria sintetica e algebra (quest’ultima non però come la intendiamo oggi, bensì un’algebra geometrica che serve agli stessi scopi dell’algebra moderna). Non comprendono regole di calcolo numerico (non erano ritenute parte dell’insegnamento superiore) né lo studio delle coniche e delle altre curve allora note, giacché quest’ultimo costituiva allora il ramo più avanzato della matematica. Secondo Proclo Licio (V secolo d. C.) gli Elementi di Euclide sono nei riguardi della matematica ciò che le lettere dell’alfabeto sono rispetto al linguaggio: “Come ci sono dei principi primi, i più semplici e indivisibili del linguaggio scritto, ai quali diamo il nome di “elementi” [in greco: “stoichèia”, cioè le lettere dell’alfabeto] ed ogni parola ed ogni discorso è formato da questi, allo stesso modo ci sono dei teoremi che sono alla testa di tutta la geometria e hanno rapporto di principio coi teoremi seguenti, si applicano in tutti e forniscono la dimostrazione di molti casi particolari; e questi teoremi sono chiamati “elementi”” (Proclo, Commento al 1 libro degli “Elementi “ di Euclide”, a cura di Maria Timpanaro Cardini, Giardini, Pisa, 1978) . Se gli Elementi fossero stati concepiti come un’enciclopedia, l’autore vi avrebbe certamente riportato commenti, spiegazioni, riferimenti ad altri autori: essi sono invece una esposizione asciutta, formidabilmente strutturata dal punto di vista logico, dei fondamenti della matematica elementare. Nei secoli successivi taluni autori inserirono nel testo commenti esplicativi che furono ripresi dagli scrivani come se facessero parte del testo originale e che oggi compaiono nei manoscritti esistenti.  Euclide attinse a piene mani dalle opere dei suoi predecessori: si ritiene che di suo vi furono solamente la disposizione della materia e talune dimostrazioni, ma gli Elementi costituirono la più rigorosa sistemazione razionale della matematica elementare che fosse mai stata redatta. Oggi è facile trovare qualche neo nell’opera di Euclide alla luce degli sviluppi successivi della matematica, dimenticando che i criteri di rigore mutano con i tempi, ma si dovette aspettare più di duemila anni perché ne potesse essere proposta una sistemazione più rigorosa: per tutto tale lungo periodo i matematici ritennero il trattato euclideo soddisfacente dal punto di vista logico ed efficace dal punto di vista didattico; ancor oggi del resto desta viva ammirazione. Gli Elementi sono suddivisi in tredici libri: i primi sei riguardano la geometria piana, i successivi tre la teoria dei numeri, il decimo tratta degli incommensurabili e gli ultimi della geometria solida. Senza alcun preambolo o introduzione, il primo libro inizia con ventitré definizioni (che oggi appaiono criticabili se non addirittura circolari), cinque nozioni comuni e cinque postulati. Seguono quarantotto proposizioni (teoremi) che dovrebbero essere familiari a chi abbia studiato geometria in una scuola superiore: esse vanno dai criteri di congruenza dei triangoli, dalle disuguaglianze tra lati ed angoli di un triangolo, per arrivare alle proprietà delle rette parallele, ai parallelogrammi, concludendosi con la dimostrazione del teorema di Pitagora e del suo inverso. Il secondo libro contiene solo quattordici proposizioni che trattano di un’algebra geometrica che a quei tempi doveva servire agli stessi scopi dell’algebra simbolica odierna: oggi tali proposizioni non sono più utilizzate, ma corrispondono in linguaggio geometrico alle odierne regole di calcolo letterale dette prodotti notevoli. Non v’è dubbio che per uno studente alessandrino dovevano avere un richiamo visivo molto più efficace di quanto non abbiano per gli studenti di oggi le corrispondenti espressioni formali dell’algebra moderna. Il terzo ed il quarto libro riguardano la geometria della circonferenza, con contenuti analoghi a quelli dei manuali moderni. Il quinto libro tratta le proporzioni, questioni allora alquanto critiche dopo la scoperta dell’incommensurabilità (avvenuta attorno al 420 a.C.): oggi sono ampiamente sostituite dalle regole operative dell’algebra simbolica. Nel sesto libro Euclide applica le proporzioni per dimostrare teoremi relativi a poligoni simili, giungendo ad una generalizzazione del teorema di Pitagora (la relazione esistente tra i quadrati può essere estesa ad una corrispondente terna di figure simili), la cui dimostrazione Proclo attribuisce allo stesso Euclide. I successivi tre libri trattano la teoria dei numeri (per Euclide il termine “numero” si riferiva ai numeri che oggi chiamiamo numeri naturali o interi positivi, cioè i numeri che servono per contare, e ogni numero veniva rappresentato con un segmento): nel settimo è compresa la regola, oggi nota come “algoritmo di Euclide”, per la ricerca del massimo comun divisore di due numeri. Il nono libro contiene alcune proposizioni che costituiscono ancora oggi teoremi di particolare interesse: il più celebre è quello che afferma che l’insieme dei numeri primi è infinito, la cui dimostrazione ancora oggi viene riproposta tale quale. Il decimo libro presenta una trattazione sistematica di taluni segmenti incommensurabili (dei quali cioè non esiste alcun sottomultiplo comune) costituita da ben centoquindici proposizioni, che oggi sarebbe classificabile come un trattato sui radicali aritmetici. Segmenti che rappresentano radici quadrate, o radici quadrate somme di altre radici quadrate, vengono facilmente costruiti con riga e compasso, giungendo a stabilire l’equivalente geometrico di ciò che oggi chiameremmo risoluzione di talune equazioni di secondo grado con discussione. Le trentanove proposizioni dell’undicesimo libro riguardano la geometria solida e sono analoghe ai teoremi che compaiono nei manuali odierni; il dodicesimo libro con diciotto proposizioni tratta la misurazione delle figure: si apre con la dimostrazione che il rapporto tra le aree di due cerchi è eguale a quello dei quadrati dei rispettivi diametri per concludersi con la misura dei volumi di piramidi, cilindri, coni e sfere.  L’ultimo libro è dedicato alle proprietà dei cinque solidi regolari (i solidi platonici, ovvero: tetraedro, esaedro o cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro) e si conclude con proposizioni che riguardano l’inscrittibilità di tali solidi in una sfera. La diciottesima proposizione, l’ultima proposizione degli Elementi, dimostra che non vi possono essere altri solidi regolari, le cui facce cioè sono poligoni regolari congruenti, diversi dai cinque solidi platonici. Talune edizioni degli Elementi includono altri due libri, sempre di geometria solida, che gli studiosi recenti hanno dimostrato trattarsi di opere apocrife: oggi risulta alquanto strano attribuire ad un autore famoso opere non scritte da lui stesso, ma pare che nei tempi antichi tale procedura fosse tutt’altro che rara. Dal 300 a.C., quando gli Elementi furono composti, essi vennero copiati e ricopiati: ciò comportò l’introduzione inevitabile di errori e modifiche. Fu possibile avere un’idea abbastanza precisa del contenuto della versione originale confrontando più copie manoscritte in greco risalenti al decimo secolo. Sono pervenute anche traduzioni in arabo, ritradotte in latino dal dodicesimo secolo. Nel sedicesimo secolo comparvero le prime copie nelle varie lingue nazionali. Gli Elementi furono uno dei primi libri di matematica pubblicati a stampa: la prima edizione stampata fu pubblicata a Venezia nel 1482 a cura di Erhard Ratdolt. Si è valutato che da allora le edizioni hanno superato il migliaio: ad eccezione della Bibbia nessun altro libro può vantare un così alto numero di edizioni e nessun altra opera di matematica ha avuto un influsso così profondo come gli Elementi di Euclide. 

3. Gli Elementi di Euclide al Liceo Beccaria.
Oltre all’edizione precedentemente citata, nella Biblioteca del nostro Liceo sono conservate una decina di edizioni a stampa del trattato euclideo. Accanto a quelle più recenti, curate da Federigo Enriques nel 1925 e da Attilio Frajese nel 1977, ve ne sono altre quattro che risalgono al 16° secolo: tra queste vi è l’edizione curata da Federico Commandino, pubblicata nel 1572 a Pisa, che è la più importante traduzione latina del trattato euclideo. Altre tre copie degli Elementi sono state edite nel 17° secolo.  Chi sfogliasse questi maestosi tomi, vecchi di centinaia anni ma ancora vivi, oltre a provare una rispettosa ammirazione, non può non sentirsi accomunato a quanti nei secoli precedenti li hanno a loro volta sfogliati e studiati, e conseguentemente interrogarsi, oltre che sull’importanza degli Elementi, sulla natura e sulla struttura delle scienze matematiche ed in specie della geometria. In quale altro ramo della scienza un’opera dopo duemila anni è ancora significativa? Quale tipo di esistenza e quindi di natura compete agli enti matematici? Quale grado di verità e di certezza il sapere matematico è in grado di conseguire? A costoro può essere di aiuto ciò che lo storico della matematica Jean Etienne Montucla scrisse sullo sviluppo del pensiero matematico: “Tra tutte le scienze, le matematiche sono quelle i cui passi nella ricerca della verità sono stati in tutti i tempi tra i più sicuri. Sovente si sono viste procedere con lentezza; sono risultate talvolta, magari per secoli interi, stazionarie, intendo dire arrestate nel loro cammino e senza compiere progressi sensibili; ma meno di ogni altra si sono viste retrocedere, cioè a dire accettando l’errore per verità. Perché nel cammino dello spirito umano un errore è come un passo indietro. Ma ciò riguarda principalmente le matematiche miste, che, a motivo del loro collegamento con la fisica, ne hanno risentito della debolezza e degli errori. Ma non accade così nelle matematiche pure: il loro cammino non risultò mai interrotto da quelle ignominiose cadute di cui tutte le altre parti delle nostre conoscenze presentano così umilianti esempi. Che di meglio per interessare uno spirito filosofico e ispirargli la stima più profonda per queste scienze?” (J. E. Montucla, Histoire des Matematiques, Agasse, Paris, 1792.)